Matematica si origami

 Ce mister ascund aceste minunate poliedre regulate care inca din antichitate au fascinat pe renumiti matematicieni,filozofi,mistici cred ca mai cu seama o abordare practica prin exercitiul de constructie a lor ar putea releva aspecte ce tin de frumusetea,nobletea  si spiritul lor.
Evident un studiu matematic cu creionul pe hartie este arid , nedecvat unei cunoasteri autentice,nu poti studia natura din carti,este necesar sa iei contactul cu ea,sa te apropii de lumea ei spectaculara ,de diversitatea compozitiilor ei structurate si ordonate echilibrat,armonios  pentru a simti si intelege anumite aspecte esentiale ce definesc marea creatie.
Asadar a studia matematic  o forma geometrica ,necesita o prezentare a acesteia,iar aici in primul rand se impune ca elevul,studentul, sa o observe,contemple,simti tactil ca volum de constructie si carcteristici definitorii.Este in fond o forma de respect si dialog cu spiritul ei in sine ca prezenta in spatiu .Abia apoi ar trebui sa  urmeaze reprezentarea ei  pe hartie cu scopul de a aplica unele teoreme ori descoperi si formula concluzii noi!
Dar mai mult decat a pleca de la analiza unei  forme "ready-made",inseamna cu siguranta a te preocupa sa o confectionezi tu insuti conectand latura cu latura ori suprafata cu suprafata, un soi de puzzle tridimensional daca vreti,doar ca fiecare piesa este alcatuita de tine ,si toate sunt conectate fireste in functie de caracteristicile matematice ale formei redate.Ei bine acest lucru este posibil prin tehnica origami ,cea mai ieftina material si inventiva modalitate de a obtine rezultate atractive diverse in redarea constructiilor poliedrale...Origami in general este un omagiu adus frumusetii geometriei,indiferent de ce domeniu al acestei tehnici ar fi vorba!
Doar traind bucuria de a construi,poti descoperi magia hartiei in acord deplin cu  frumusetea geometriei in sine!
In continuare va propun o scurta trecere in revista a unor poliedre respectabile, structuri esentiale ce definesc universul creatiei ...piese remarcabile prin frumusetea constructiei unitatilor necesare si inventivitatea de care au dat dovada creatorii  lor.

MENTIUNE:Anumite piese (marcate cu *) sunt preluate de la alti autori...cu timpul am aruncat multe lucrari din lipsa de spatiu!

GEOMETRIA  PLATONIANA

1) TETRAEDRUL 

Tetraedrul (tetra=4(gr))/4 fete/6 laturi/4 varfuri

Tetraedrul(tetrahedron),sau piramida triunghiulara,este cel mai simplu volum de constructie.Daca in geometria plana trei puncte alcatuiesc o suprafata elementara numita triunghi,ei bine corespondentul 3D ,este tetraedrul ce presupune legatura a 4 suprafete triunghiulare.

Conform simbologiei antice platoniene el reprezenta elementul "Foc".In Egiptul antic,piramidele dedicate in cea mai mare parte regelui soare "Ra",simbolizau "Raza de soare"...este o forma simpla si monumentala ca prezenta ce prin convergenta planurilor catre varful principal  sugereaza ideia de aspiratie,cutezanta,majestuzitate.In epoca Renasterii ,atat in pictura cat si sculptura exista o fascinatie pentru compozitii cu " schema piramidala ",...personaje astfel compuse incat sa evidentieze spiritul de constructie piramidala...solemn,monumental.

Reprezentarea in origami in acest caz utilizeaza module simple spre mediu ,asamblarea necesita un pic de experienta la asezarea celui de-al treilea modul ce intregeste un varf in cazul reprezentarii din module-laturi.

Intersectie 5 Tetraedre*

(30 unitati-laturi)

De la simplu la complex,poate fi  mai lesne si placut  uneori prin abordarea pe grupuri organizate in care se impun sarcini precise de lucru.Aceasta este cert o piesa remarcabila ...de rezistenta as zice,va puteti autofelicita daca  ati reusit-o!!!Va puteti acorda sau cere si un premiu...absolut binemeritat!

PS:Nu este in acest caz dificil sa alcatuiesti un tetraedru,problema este interconectarea lor...primele doua "no problem!" insa al treilea solicita nu gluma rabdarea si  capacitatea de reprezentare-proiectare in spatiu...este partea cea mai dificila,mai apoi e mai lesne de a finaliza!

2)- CUBUL

Cubul sau hexaedrul(hexa=6/6 fete/12 laturi/8 varfuri)

Cubul este corespondentul patratului in plan 3D.

Perfect stabil,ferm prin planurile sale paralele intretaiate in unghiuri de 90 de grade,el denota calm,justete,obiectivism,armonie si rigoare.Asocierea cu elementul "Pamant" in simbologia platoniana are in vedere impozanta si stabilitatea sa impecabila fata de planul orizontal,"terestru".In orice pozitie este asezat ,rasturnat sau aruncat precum un zar,pastreaza sau revine imediat la aceeasi  expresie ferma geometrica.In arhitectura planul unei cladiri cu arie patratica se mai numeste si plan cubic.In pictura miscarea cubista (1908-1910) renunta la legile perspectivei clasice redand apropierea lucrurilor in spirit puternic geometrizat ..Denumirea era desigur simbolica insa foarte adecvata  judecand dupa  expresia planurilor clare ,taioase,unghiulare in care accente plastice de forta revin unghiului patratic prin pete orizontale si verticale ce-l definesc.Cubismul in pictura a reprezentat un pas esential,inovator in afirmarea si dezvoltarea ideologiei artistice moderne de astazi in arhitectura,design,sculptura.

Cubul in origami fie reprezentat prin suprafete sau prin  laturi,cunoaste o diversitate de modele absolut fantastica!!!
Incepand cu "sonobe modul" dupa numele creatorului sau Mitsunobu Sonobe,tehnica origami modular a luat un avant deosebit! Primele reprezentari aveau in vedere cubul si diverse constructii cubice.Simplu si robust prin conexiune,"sonobe modul" a fascinat si continua sa fascineze pe multi adepti ai activitatilor de constructie tip modulara. Celebrul modul prin cateva plieri adaogite poate  fi folosit de asemenea pentru constructia octoedrului si icosaedrului stelat.In timp, mai multi autori precum Kunihiko Kasahara,Tomoko Fuse, Miyuki Kawamura au preluat sistemul sonobe,alcatuind diverse variatiuni ale acestuia cu tenta uneori mai decorativa.

Excelente module(conexiune doua module intr-unul) in sistem sonobe -Tomoko Fuse

"Cub morisca" *

4 coltare + 6 module corp,foarte eleganta aceasta varianta de cub!*

"Sonobe module" este un perfect start in origami geometric modular ce poate fi gradual abordat cu aplicatii  de la simplu la complex.O varianta ar fi cubul din 24 module,adica fiecare suprafata din cate 4 module urmata de constructii cubice diverse...

Variatiune Sonobe  - 24 module *                            Sonobe clasic - 24 module*

   Sonobe clasic -diverse constructii cubice*

O varianta de cub extrem de simpla este cea propusa de Paul Jackson  si variatiunea lui David Mitchel;"Columbus cube",cub cu o dislocare de volum intr-un colt care permite (cu adeziv) realizarea unor lucrari interesante,adevarate sculpturi moderne din hartie:

Coloana si Structura dodecaedrala din "Columbus cube"*

Ring 5 cuburi columbus

Exista insa si alte tipuri de module placute si simple ca executie ...,unele permit conectarea unor modele cu rol decorativ, caz in care ele sunt incluse uneori la categoria ;"kusudama ornaments"

Decorativ efect prin progresia  geometrica *

"Frame cube" in stanga,poate fi personalizat cu fotografii diverse si utilizat ca element decorativ

"Heart cube";inventivitatea nu are margini in acest domeniu!...(doar 6 patrate de hartie si in acest caz)

Cubul(ca dealtfel toate poliedrele) este si mai expresiv prin reprezentarea laturilor sale,caz in care se evidentieaza o anumita relatie gol-plin ce-i confera o nota mai aerata si eleganta...si in acest caz unitatile nu depasesc nivelul mediu de executie,iar rezultatele prin conexiune sunt foarte eficiente,robuste,precise.

Orice studiu al unei forme geometrice prin aceasta tehnica se poate bucura de aplicatii inedite!

Iata doua piese incantatoare in cazul cubului ,care sunt defapt variatiuni "sonobe modul",piese absolut remarcabile ,uimitoare judecad cel putin din perspectiva transformarii a 6 module nu tocmai dificile de executat si rezultatul obtinut...repet,fara adeziv,fara taieri!!!

"Brocado Cube"- cu certitudine una dintre cele mai remarcabile ipostaze ale cubului(invesmantat pe diagonale),dar si una din cele mai frumoase piese in origami geometric modular.

Magic rose by Valerie Vann - incredibila transformare a unui cub intr-un trandafir minunat stilizat geometric!!!

Pentru cei care nu se impaca defel cu frumusetea geometriei,cred ca prin  asemenea aplicatii pot sa se apropie ,sa simta si sa  inteleaga unele aspecte importante ce tin de farmecul geometriei si raportul subtil al ei cu formele naturii inconjuratoare.

3)- OCTOEDRUL

Octoedrul ( octa=8/8 fete,12 laturi,6 varfuri)

Octoedrul este corespondentul rombului in plan 3 D.
Este o forma combinativa intre patrat si triunghi(fie echilateral in cazul octoedrului regulat,fie isoscel),intre piramida si cub.Practic un octoedru se constituie din doua piramide patratice opuse,avand comuna  aceeasi baza .
Este o forma geometrica care suspendata de varful piramidal e deosebit de placuta ca prezenta,simpla,riguroasa dar si zvelta mai cu seama cand suprafetele sunt triunghiular isoscele,caz ce accentueaza expresia lui rombica.Aceasta este de fapt pozitia care il defineste pe deplin ca expresie geometrica ,doar prin suspensia lui de un varf se poate "ridica" la ceea ce el se doreste a fi prin simetrie...octoedrul asadar rupe legatura cu planul terestru,pare sa se desprinde de el,"aspirand "catre planul imaterial,celest.Nu ma mira astfel asocierea sa  cu elementul "Aer" in simbologia platoniana !

Octoedrul in origami este deseori abordat mai cu seama in varianta lui stelata din sonobe modul ,caz in care se obtin varfuri teraedrice dreptunghic-isoscele.Sunt necesare in acest caz 12 module...este un exercitiu recomandat inainte de a aborda structurile icosaedrice din 30 de module!

Insa cea mai fascinanta forma octoedrica stelata este stela octangula,caz in care suprafetele sunt triunghiuri echilaterale,obtinandu-se  o versiune 3D a stelei lui David.
"Stela Octangula" reprezinta in anumite medii ezoterice corpul electromagnetic al omului sau Merkaba(Mer=lumina/,Ka=spirit/,Ba=corp)Merkaba este un vehicol de lumina format din doua tetraedre de lumina interconectate cu un centru comun,altfel spus o stela octangula incluzand energie masculina si feminina care activata ajuta la a pasi intr-o dimensiune superioara a spiritului si chiar permite calatoria acestuia in timp si spatiu.Cat adevar exista in aceste teorii ce tin de studiul disciplinei numita astazi geometrie sacra,greu de spus ,cert este ca exista anumite sensuri ale creatiei divine in stransa legatura cu o anumita geometrie a carei frumusete si forta de expresie am descoperit-o tot mai mult construind diverse structuri poledrice.Evident Dumnezeul iubirii este un geometru si arhitect desavarsit!

Stela Octangula(12 units)*

Odata abordate anumite poliedre un studiu interesant poate fi acela in care reprezentarea are in vedere intersectia a doua poliedre.

Minunata constructie reprezentand intersectia dintre un cub si un octoedru.
(In acest gen de constructii capetele modulelor au unghiuri diferite in functie de unghiurile specifice celor doua poliedre,60 (octoedru regulat)si 90(cub) de grade in acest caz)


4)- DODECAEDRUL

Dodecaedronul(dodeca =12/12 fete,30 laturi,20 varfuri))

Dodecaedrul este corespondentu pentagonului  in plan 3D.

Dodecaedrul in simbologia platonian reprezenta elementul "Spirit' si chiar universul.

Intre toate poligoanele  regulate,cu siguranta pentagonul este cel mai atractiv si des cultivat ca atare in origami prin diverse modele stelate si poliedre complexe.Si icosaedrul are in vedere expresia pentagonului prin alaturarea la varf a 5 suprafete triunghiulare.
Fascinatia pentru constructiile pentagonale(greu de spus exact de ce,exercitiul practic insa o demonstreaza ),este cumva explicabila avand in vedere unele structurile ale naturii in care il regasim,alcatuirea corpului omenesc insusi  in 5 componente ;4 membre si cap,existenta celor 5 simturi:auz,vaz,miros,gust si tactil ori cele 5 elemente care in cultura feng shui la chinezi sunt cuprinse in pentagrama :aer,pamant,foc,apa si spirit.
Practica origami abordeaza reprezentarea sa prin laturi mai mult,iar deseori prin modele kusudama ce au in vedere structuri florale sau stelare pentagonale reunite dupa modelul de constructie tip dodecaedru.
Expresia modulelor mai simple sau mai complexe conduc fireste catre expresii diferite ale constructiei.

30 module,extrem de simple de executat in acest caz,conexiune usoara, efect remarcabil.*

Motive floral pentaganale identice, conectate dupa constructia tip icosidodecaedru .*

                                   Modul subplanar,conexiune dodecaedrica

O alta varianta deosebita a dodecaedrului este cea stelata,cand de pe fiecare suprafata pornesc din varfuri laturi egale care alcatuiesc varfuri piramidale pentagonale.Toate structurile stelare 3D au un farmec aparte!.Evident, starul in sine(planar,in relief,sau tridimensional) care exprima expansiunea radiala a formei in spatiu plecand dintr-un punct,ideia de creatie si viata ca vointa unica generatoare, este absolut magic,incantator ...nu intamplator  este atat de des abordat prin aceasta tehnica.

Iata 3 modele deosebite prezentate in ordine de la simplu catre complex.*

Cele mai des abordate poliedre stelate in origami geometric modular si kusudama sunt insa icosaedrele.

5)- ICOSAEDRUL

Icosaedrul(icosa=20/20 fete,30 laturi,12 varfuri)

Icosaedrul este corespondentul 3D al triunghiului echilateral in acord cu spirit "sferic" pentagonal.(varfuri ce reunesc 5 triunghiuri alaturate) si este asociat in simbologia platoniana cu elementul "Apa".

Se apropie si mai mult ca expresie de sfericitate decat dodecaedrul, motiv pentru care este cel mai des ales  in alcatuirea unor modele ornamentale gen kusudama.Diviziunea in 5 la varf permite alcatuirea sau inserarea unor motive florale sau stelare pentagonale, caz in care poate deveni un veritabil si atractiv ball decorativ.Ambele poliedre regulate sunt doua structuri minunate ce necesita 30 de unitati fiecare.

Versiune gen mozaic prin diviziunea suprafetelor triunghiulare*

Modul subplanar*

Acelasi modul folosit la constructia tetraedrului (60 grade la capete)

Icosaedrul este des abordat in kusudama  si in versiunea sa stelata.Cele 20 de suprafete ale sale permit obtinerea unor modele dense ca structura si de efect .

Tornillo modul,simplu si elegant ,cu o asamblare placuta,permite efecte decorative datorita expresiei sale prin contrastul fata-verso hartie de  la capete ...in acest caz autorul a utilizat hartie variata cromatic pastrand o dominanta rece cromatica.*

Constructie icosaedrica cu motiv stelar la varfuri*

Diverse kusadame urmand constructia poliedrala icosaedrica.Altminteri minunate forme decorative pentru un eveniment festiv.

O galerie de kusadame impresionante (structuri ornamentale urmand principii de constructie geometric-poliedrala),puteti viziona la acesta eticheta :

http://creativplace.blogspot.ro/search/label/GALERIE%20KUSUDAMA%20ORNAMENTS

GEOMETRIA ARHIMEDIANA

Poliedrele arhimediene sunt forme combinative intre cele 5 platonice .Practic se combina 2 sau 3 tipuri de poligoane regulate:(triunghi,patrat,pentagon,hexagon si octogon)
Odata ce ne-am familiarizat cu primele,formand anumite priceperi si abilitati in pliere-conexiune,dezvoltandu-ne o anumita capacitate de reprezentare -proiectare  in spatiu,se poate lesne trece la reprezentarea acestora.Deoarece solicita un numar mare de module(60,90,120,etc),ele pot fi abordate ca  proiecte inedite de grup in cadrul orelor suplimentare/cercuri de matematica.
In continuare am sa prezint doar cele mai des redate corpuri arhimediene prin aceasta tehnica.

PS:Articol in curs de elaborarea pe mai multe zile!
(text elaborat ,incluzand unele considerente,idei ori teorii personale)